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龙图腾网获悉南京理工大学申请的专利基于极大值原理的在线最优能量轨迹规划方法获国家发明授权专利权，本发明授权专利权由国家知识产权局授予，授权公告号为：CN120428571B 。

龙图腾网通过国家知识产权局官网在2025-09-09发布的发明授权授权公告中获悉：该发明授权的专利申请号/专利号为：202510886256.5，技术领域涉及：G05B13/04；该发明授权基于极大值原理的在线最优能量轨迹规划方法是由陈龙淼;王宽;佟明昊;孙乐设计研发完成，并于2025-06-30向国家知识产权局提交的专利申请。

本基于极大值原理的在线最优能量轨迹规划方法在说明书摘要公布了：本发明公开了一种基于极大值原理在线最优能量轨迹规划方法，属于伺服运动控制与轨迹规划技术领域，首先建立伺服运动控制系统的机械运动模型，引入加加速度、加速度约束和速度速度约束，以系统能耗为优化目标，构建优化控制问题。应用庞特里亚金极大值原理推导最优控制量，最终将原先的优化控制问题转化为求解一个非线性两点边值问题，并通过求解该边值问题来获得最优能量轨迹。对于带有加加速度、加速度约束和速度约束的优化控制问题，在求解边值问题的基础上，采用搜索算法根据边值条件求解最优切换点。本发明实现了在计算资源有限的微控制器平台上在线计算最优能量轨迹的效果。

本发明授权基于极大值原理的在线最优能量轨迹规划方法在权利要求书中公布了：1.一种基于极大值原理的在线最优能量轨迹规划方法，其特征在于，包括以下步骤： 步骤1，建立系统机械运动方程，将位置和速度作为状态变量，将运动方程改写为状态空间方程，具体过程为： 所述机械运动方程为：；其中，Jm为系统等效转动惯量，θ为电机转子位置，ω为电机转子速度，Kt为电机的转矩系数，u为电机的q轴电流，Bm为粘滞阻尼系数，TL为负载转矩； 负载转矩的一般表达式为： ； 其中，c0为库伦摩擦力的幅值，ω≥0，f1θ表示任意与负载位置相关的负载转矩，满足在区间[0,θf]上连续可导； 将电机位置和转速作为状态变量，记为X=[θ,ω]，将机械运动模型写为状态空间形式： ； 其中，K=KtJm，F=−1*BmJm,C=−1*c0Jm，D=−1Jm 将电驱动伺服系统的能量消耗作为性能指标，根据是否存在加加速度、加速度约束或者速度约束，建立三类最优能量轨迹规划问题，第一类最优能量轨迹规划问题为由动力学模型以及性能指标组成的无约束优化控制问题，具体为： ； 式中，E为性能指标表示运动过程消耗的电能，ω为电机转子速度，Rs为电机电阻，tf为运动时间，Kt为电机的转矩系数，u为控制量，X=[θ,ω]为系统的状态变量θ0和θtf分别表示初始位置和末端位置，ω0和ωtf分别表示初始速度和末端速度，f表示系统状态方程，由系统机械运动方程改写得到，具体表达式为： ； 式中，K=KtJm，F=−1*BmJm,C=−1*c0Jm，D=−1Jm.f1θ为负载转矩 第二类最优能量轨迹规划问题为由动力学模型、性能指标以及加加速度和加速度约束组成的带有加加速度和加速度约束的优化控制问题，具体为： ； 式中，E为性能指标表示运动过程消耗的电能，ω为电机转子速度，Rs为电机电阻，tf为任务时间，Kt为电机的转矩系数，u为控制量，X=[θ,ω]为系统的状态变量；jlim为加加速度约束，αmin和αmax分别为加速度约束的下限和上限，θ0和θtf分别表示初始位置和末端位置，ω0和ωtf分别表示初始速度和末端速度，f表示系统状态方程； 第三类最优能量轨迹规划问题为由动力学模型、性能指标、加加速度和加速度约束以及速度约束组成的带有加加速度、加速度约束和速度约束的优化控制问题，具体为： ； 步骤2，基于极大值原理，求解步骤1中所建立的三类优化控制问题，获得相应的最优能量轨迹，包括： 基于极大值原理，求解步骤1中的第一类最优能量轨迹规划问题，具体方法为： 基于极大值原理，引入协态变量，建立哈密顿量，并根据哈密顿量构建协态方程； 根据最优性条件得到最优控制量，将最优控制量带入协态方程和状态空间方程组成哈密顿方程组；所述哈密顿方程组与优化控制问题中给定的边界条件组成一个非线性常微分方程组两点边值问题； 采用极值变分法求解两点边值问题，获得未知协态变量的真实初值，将两点边值问题转化为初值问题求解，采用四阶龙格库塔法求解初值问题，获得无约束最优能量运动轨迹； 基于极大值原理，求解步骤1中的第二类最优能量轨迹规划问题，具体方法为： 带有加加速度约束的优化轨迹由五段运动轨迹组成，第一段为区间[0,tj]上的加加速度约束轨迹，第二段为区间[tj,t1]上的加速度约束轨迹，第三段为区间[t1,t2]上的无约束运动，第四段为区间[t2,tf−tj]上的加速度约束轨迹，第五段为区间[tf−tj,tf]上的加加速度约束轨迹； 求解带有加加速度、加速度约束的优化轨迹，即采用搜索算法确定切换时间点t1和t2，具体为： 假设t11=0,t21=tf，求解区间[t1,t2]上的无约束运动轨迹，相应的边界条件为： ； 将上述边界条件带入第一类优化控制问题中并求解，得到区间[t1,t2]上的无约束运动轨迹； 区间[t1,t2]上的运动轨迹还满足如下条件： ； 当求得的区间[t1,t2]上的运动轨迹不满足上述条件时，根据误差情况迭代调整t1和t2的值，使得迭代有限次数之后区间[t1,t2]上的运动轨迹满足上述条件； 迭代调整t1和t2的具体方法如下： ； 其中，γk为第k次迭代求解得到的区间[t1,t2]上加速度轨迹等于αmax时的索引，Ts为积分步长； ； 其中，εk为第k次迭代求解得到的区间[t1,t2]上加速度轨迹等于αmin时的索引，length是区间[t1,t2]上的积分步数，其大小为，Ts为积分步长； 对t1和t2的值进行调整之后，再继续求解区间[t1,t2]上的运动轨迹，直到满足边界条件为止； 基于极大值原理，求解步骤1中的第三类最优能量轨迹规划问题，具体方法为： 带有加加速度、加速度约束和速度约束的优化轨迹由七段运动轨迹组成，第一段为区间[0,tj]上的加加速度约束轨迹，第二段为区间[tj,t1]上的加速度约束轨迹，第三段为区间[t1,t3]上的无约束运动，第四段为区间[t3,t4]上的速度约束轨迹，第五段为区间[t4,t2]上的加速度约束轨迹，第六段为区间[t2,tf−tj]上的加速度约束轨迹，第七段为区间[tf−tj,tf]上的加加速度约束轨迹； 求解带有加加速度、加速度约束和速度约束的优化轨迹，即确定切换时间点t3和t4； 区间[0,t3]上的优化运动轨迹，将如下边界条件带入第二类优化控制问题来求解：；区间[t4,tf]上的优化运动轨迹，可以将如下边界条件带入第二类优化控制问题来求解：；求解出区间[0,t3]和[t4,tf]上的优化轨迹后，检查所求解的运动轨迹，总位移是否等于给定的位移；由于在求解区间[0,t3]和[t4,tf]上的优化轨迹时，边界条件中并未指定末端位移，因此会导致求得的解并未满足位移条件，误差为：；其中，Δθ1和Δθ2分别是区间[0,t3]和[t4,tf]上的位移，ρ表示位移误差； 当ρ不为0时，迭代调整t3和t4的值，使得在有限次迭代之后，位移误差ρ趋近于0；设，，将迭代调整t3和t4的问题转化为迭代调整单变量ζ；采用经典牛顿二分法来迭代调整切换点ζ，使得位移误差ρ经过有限次迭代之后收敛到允许的误差范围内。

如需购买、转让、实施、许可或投资类似专利技术，可联系本专利的申请人或专利权人南京理工大学，其通讯地址为：210094 江苏省南京市玄武区孝陵卫街道200号南京理工大学；或者联系龙图腾网官方客服，联系龙图腾网可拨打电话0551-65771310或微信搜索“龙图腾网”。